1. Составить уравнение
линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(-8;0) и до прямой х=-2 равно 2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и
построить кривую.
Решение:
Данная линия – левая ветвь гиперболы. Это следует из директориального свойства гиперболы:
Геометрическим местом точек, для которых отношение расстояний их до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) есть
величина постоянная ε>1, является гипербола.
Так как директриса одна, и расположена в левой полуплоскости, то график – левая ветвь гиперболы.
Постоянная ε – это эксцентриситет. По условию, ε=2.
Директриса х=-2. Фокус А(-8;0)
Каноническое уравнение гиперболы:
 (*)
а – расстояние от центра гиперболы до центра осей
координат. На построенном графике это lОАIl
Так как по условию
то
Значит, а=4.
, где с – расстояние от фокуса до центра осей координат.
С=lОАl=8,
то
Уравнение (*) примет вид
Область определения этой функции:
| 
