Дан ряд

 
Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение:
Запишу первые три члена ряда при n=1, 2, и 3

Для определения сходимости ряда использую признак Даламбера:

Для сходимости ряда должно соблюдаться неравенство:

Исследую сходимость ряда на границах интервала, т.е. в точках х = -6/7 и х = 6/7

Для проверки его сходимости использую теорему Лейбница, согласно которой, для сходимости достаточно, чтобы:

Ряд имеет вид:

Значение знаменателя дроби увеличивается, значит сама дробь (по модулю) уменьшается. Второе условие соблюдено.
Значит, при х = - 6/7 ряд сходится.
При х = 6/7 ряд имеет вид:

Для проверки сходимости использую интегральный признак Коши.
Данный ряд монотонно убывает, значит одно из условий соблюдается.
Найду несобственный интеграл ряда:

Значит в точке х = 6/7 ряд расходится.
Итак, область сходимости ряда:  -6/7 ≤ х< 6/7